Step 6 06. 卷积运算：从信号处理到 CNN

<!-- Title: 06. 卷积运算：从信号处理到 CNN --> <!-- Series: 深度学习数学基础 (ID: 10) --> <!-- Author: admin --> # 卷积运算：从信号处理到 CNN ## 1. 什么是卷积 (Convolution)？ 在数学上，卷积是两个函数 $f$ 和 $g$ 之间的一种运算，记作 $f * g$。 $$ (f * g)(t) = \int f(\tau)g(t-\tau) d\tau $$ 别被积分吓跑了。在图像处理（离散域）中，它非常直观： **卷积 = 加权求和的滑动窗口。** ## 2. 图像中的卷积核 (Kernel) 想象你有一个 $3 \times 3$ 的小窗口（卷积核/过滤器）。 你拿着这个窗口在图片上滑动。 每到一个位置，就把窗口里的像素值，和卷积核里的权重相乘，然后加起来，得到一个新的像素点。 * **边缘检测**：如果卷积核左边是 -1，右边是 1。那么平坦区域（左右相同）结果为 0；边缘区域（左右不同）结果很大。这就是 Sobel 算子。 * **模糊**：如果卷积核全是 $1/9$，那就是取平均值，图片就变糊了。 ## 3. CNN (卷积神经网络) 的核心思想 传统的全连接网络 (MLP) 面对图像时有两个大问题： 1. **参数爆炸**：1000x1000 的图，第一层如果有 100 个神经元，参数就是 1 亿个。 2. **位置敏感**：猫在左上角和在右下角，MLP 认为是完全不同的东西。 CNN 引入了两个归纳偏置 (Inductive Bias)： 1. **局部连接 (Local Connectivity)**：每个神经元只看一小块区域（感受野）。 2. **权重共享 (Weight Sharing)**：不管在左上角还是右下角，我们用**同一个**卷积核（比如找猫耳朵的核）去扫描。 这大大减少了参数量，并且赋予了模型**平移不变性 (Translation Invariance)**。 ## 4. 结语 卷积运算是 AI 视觉系统的“视网膜”。 它提取特征，从点线面到复杂的纹理，层层抽象，最终让机器看懂了世界。