Step 5 05. 什么是微积分？

<!-- Title: 05. 微积分：算法优化的引擎 --> <!-- ID: 244 --> <!-- Series: 程序员的数学修养 (ID: 16) --> <!-- Author: 潘卫 --> # 微积分：算法优化的引擎 ## 1. 为什么程序员要看微积分？ 很多程序员觉得微积分离自己很远。 确实，写 CRUD（增删改查）不需要微积分。 但是，一旦涉及到**优化**、**模拟**、**图像处理**或**机器学习**，微积分就是核心引擎。 微积分研究的是**变化**（导数）和**累积**（积分）。 ## 2. 导数 (Derivative)与梯度下降 导数的几何意义是切线的斜率，物理意义是变化率。 在多维空间中，导数构成了**梯度 (Gradient)**。 梯度是一个向量，指向函数增长最快的方向。 ### 机器学习的核心：梯度下降 (Gradient Descent) 假设我们在山顶（高误差），想要下山（最小化误差）。 我们在浓雾中看不清路，但我们可以用脚探一探，哪个方向下坡最陡（求梯度）。 然后我们往那个方向走一步（学习率）。 重复这个过程，最终就能到达山谷（最优解）。 ```python # 梯度下降伪代码 # Loss Function: J(theta) theta = initialize() learning_rate = 0.01 for i in range(1000): # 求导：计算当前位置的梯度 gradient = compute_gradient(theta) # 更新参数：沿着梯度的反方向走 theta = theta - learning_rate * gradient ``` 所有现代 AI 模型（GPT, Stable Diffusion），本质上都是通过这个微积分原理“训练”出来的。 ## 3. 积分 (Integral) 与数值计算 积分是导数的逆运算，代表累积量（如面积、路程）。 但在计算机中，我们无法处理连续的无穷小，我们使用的是**数值积分**。 ### 物理引擎中的应用 在游戏开发中，我们知道物体的加速度 $a$（由力 $F=ma$ 算出）。 如何求位置？ 1. 积分加速度得到速度：$v = v + a \times \Delta t$ 2. 积分速度得到位置：$x = x + v \times \Delta t$ 这就是**欧拉积分法**。虽然简单，但这是模拟物理世界的基础。 ## 4. 离散微积分：图像处理 计算机里的图片是由像素组成的离散矩阵。 在这里，微积分变成了**差分**和**累加**。 ### 边缘检测 (Edge Detection) 如何识别图片中物体的轮廓？ 轮廓通常是颜色变化剧烈的地方。 也就是颜色值的**导数**（梯度）很大的地方。 我们用**Sobel算子**（一种卷积核）去扫描图片，本质上就是计算每个像素点在水平和垂直方向的差分（离散导数）。 梯度大的点，就是边缘。 ## 5. 结语 微积分是上帝的语言，它描述了宇宙是动态变化的。 对于程序员来说，理解微积分意味着理解了“优化”的本质——**知道往哪个方向改变，能让系统变得更好。**